Lineare Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 68$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 68 - x^{2}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{68 - x^{2}}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{68 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$68 - x^{2} \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $68$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 68$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 68$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 68$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 68$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 68$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{68}$

Schritt 5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{68}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{68}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe $68$ als $2^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$| x | \leq \sqrt{4 (17)}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Schritt 5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{17}$

Schritt 5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{17}$

Schritt 5.5

Schreibe $| x | \leq 2 \sqrt{17}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2 \sqrt{17}$

Schritt 5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2 \sqrt{17}$

Schritt 5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{17} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{17} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2 \sqrt{17}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Schritt 5.7

Löse $- x \leq 2 \sqrt{17}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2 \sqrt{17}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2 \sqrt{17}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{17})$

Schritt 5.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{17})$ als $- (2 \sqrt{17})$ um.

$x \geq - (2 \sqrt{17})$

Schritt 5.7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{17}$

Schritt 5.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2 \sqrt{17}$ und $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{17} \leq x < 0$

Schritt 5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2 \sqrt{17}, 2 \sqrt{17}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}}$

Schritt 7